Storico capitano spezzino, è il terzo calciatore per numero di presenze della storia spezzina. Arriva diciottenne nello Spezia, ed esordisce in C, dove gli aquilotti sono appena retrocessi. Gioca la sua prima gara il 7 ottobre del 1951, a Rapallo: vincono i levantini 2-1. Sette giorni dopo, la sua prima al Picco. Segna una rete, in quel torneo: contro l'Empoli, al Picco, il 3 dicembre. Sono nove le sue stagioni consecutive in maglia bianca, della quale ormai è una bandiera. Sprofonda in Promozione, riconquista la C e la prestigiosa Coppa Mattei. Nel 1959, questo aitante difensore torna a segnare: e la sua rete è decisiva per battere il Legnano. Finisce 2-1. Nell'estate del '60, a sorpresa, viene venduto alla Reggiana, in serie B: un'offerta irrinunciabile, dopo una carriera nelle serie minori. Così Alfredo Liberi, su "peveblog", ricorda quel momento: «Pur tormentato da mille remore e rimorsi (gli sembrava di tradire la maglia), una mattina di agosto prese coraggio e si presentò in sede. Bussò alla porta di Del Santo, e arrossendo come un ragazzino sorpreso a rubare la marmellata, gli raccontò dell'offerta ricevuta, chiedendo il permesso... di andarsene. Come si poteva dire di no ad un giocatore che per dieci anni aveva dato tutto allo Spezia, negandogli anche l'ultima soddisfazione professionale? Del Santo acconsenti, e Zennaro (tra lo sbigottimento della tifoseria) iniziò così il campionato a Reggio Emilia». Ma non si ambienta, e rientra a novembre, «C'era il trapasso tra il gioco del sistema, in cui non c'era il libero e il libero, ricorda oggi, l'allenatore Del Grosso pretendeva di giocare con il sistema, io ero poco protetto... Ci infilavano di continuo, eravamo in difficoltà. E a pagare erano lo stopper e il portiere. In quel periodo anche lo Spezia andava male. Il presidente Bertorello, che mi voleva bene, mi chiese di tornare a Spezia: ero innamorato di questa città e della maglia e sono tornato». Il 4 dicembre ritrova così la sua casacca numero 5 ad attenderlo nello spogliatoio: Spezia-Legnano è come un nuovo esordio. Seguono altre cinque stagioni, prolifiche anche dal punto di vista realizzativo: il capitano, nel torneo 1961-62, segna al Grosseto, quindi all'Empoli (gol da due punti) e contro il Rimini, sempre decisivo, all'ultimo minuto della gara finale di un campionato. Ma non basta a salvare gli aquilotti, che per un punto retrocedono in D.
Segna ancora tre reti, nella sua ultradecennale carriera in maglia bianca: alla Massese - finisce 1-0 - al Sestri Levante e al Viareggio in quella successiva, in cui gli aquilotti perdono la promozione nella "fatal" Massa, sconfitti per 4-0 dai bianconeri. La stagione 1964-65, deludente, e che lascia lo Spezia in D, è anche l'ultima di Zennaro. Che, il 23 maggio 1965, contro l'Alassio, veste la sua ultima maglia bianca, quasi quattordici anni dopo il suo esordio.